第7章齿轮机构设计

本章以渐开线直齿圆柱齿轮传动为主线，阐述圆柱齿轮传动的运动设计和承载能力设计。运动设计主要包括啮合原理及啮合特点、基本参数和几何尺寸计算等内容；承载能力设计主要包括设计计算准则、齿轮失效、力分析和强度计算等内容。在此基础上，简明介绍直齿锥齿轮传动设计及齿轮润滑设计。

1) 了解齿轮传动的特点、应用及类型；
　　(2) 理解齿廓啮合基本定律,掌握渐开线齿廓的形成及其性质，并能在后续相关内容中运用；熟练掌握渐开线圆柱齿轮的基本参数、标准齿轮的几何尺寸计算，能够正确计算；掌握范成法切齿原理、标准齿轮和变位齿轮切制特点以及变位齿轮的尺寸变化。
　　(3) 深入理解直齿轮传动运动设计应满足的六个条件及重合度、不根切最少齿数、无侧隙啮合方程等内容，并正确运用重合度等公式进行计算；掌握圆柱齿轮传动的几何尺寸计算及中心距变动系数、齿顶高变动系数等概念；了解标准齿轮传动、高度变位齿轮传动及角度变位齿轮传动的特点。
　　(4) 理解斜圆柱齿轮齿廓曲面的形成、基本参数与螺旋角的关系、当量齿轮及当量齿数的概念；理解平行轴斜齿轮传动运动设计的条件，并正确运用其几何尺寸公式进行计算；了解交错轴斜齿轮传动的特点。
　　(5) 了解齿轮精度选择的方法，五种失效形式的特点、生成机理及予防或减轻损伤的措施；掌握齿轮材料选择要求、常用钢铁材料选用及其热处理特点。
　　(6) 熟练掌握齿轮传动的受力分析，特别是平行轴斜齿轮轴向力的大小和方向的确定，直齿锥齿轮传动轴向力与径向力的关系；理解几个载荷修正系数的意义及其影响因素，减小其影响的方法；
　　(7) 熟练掌握直齿圆柱传动的齿面接触疲劳强度计算和齿根弯曲疲劳强度的计算基本理论依据，推导公式的思路，公式中各个参数和系数的意义，掌握其确定方法；参考示范例题，掌握齿轮传动设计的步骤，正确地进行直齿轮传动的强度设计计算；了解平行轴斜齿轮传动和直齿锥齿轮传动的当量齿轮的意义，掌握平行轴斜齿轮传动和直齿锥齿轮传动强度计算特点。
　　(8) 掌握齿轮四种结构形式的特点和选择，并能画出齿轮零件的工作图；掌握齿轮传动润滑油种类、粘度及润滑方式的选择。

齿轮机构是现代机械中应用最广泛的传动机构，用于传递空间任意两轴或多轴之间的运动和动力。

齿轮传动主要优点：传动效率高，结构紧凑，工作可靠、寿命长，传动比准确。

齿轮机构主要缺点：制造及安装精度要求高，价格较贵，不宜用于两轴间距离较大的场合。

按轴的相对位置	平行轴齿轮传动机构^①
按轴的相对位置	相交轴齿轮传动机构、交错轴齿轮传动机构^②
按齿线相对齿轮体母线相对位置	直齿、斜齿、人字齿、曲线齿
按齿廓曲线	渐开线齿、摆线齿、圆弧齿
按齿轮传动机构的工作条件	闭式传动、开式传动、半开式传动^③<
按齿面硬度	软齿面（≤350HB）、硬齿面（>350HB）

② 相交轴齿轮传动机构和交错轴齿轮传动机构统称为空间齿轮传动机构.

③ 闭式传动的齿轮封闭在箱体内，润滑良好；开式传动的齿轮是完全外露的，不能保证良好润滑；半开式传动的齿轮浸在油池内，装有防护罩，不封闭。

在齿轮传动机构的研究、设计和生产中，一般要满足以下两个基本要求：

1. 传动平稳--在传动中保持瞬时传动比不变，冲击、振动及噪音尽量小。

2.承载能力大--在尺寸小、重量轻的前提下，要求轮齿的强度高、耐磨性好及寿命长。

图示为一对作平面啮合的齿轮，两轮的齿廓曲线分别为G₁和G₂。设轮1绕轴O₁以角速度ω₁转动，轮2绕轴O₂以角速度ω₂转动，图中点K为两齿廓的接触点，过点K作两齿廓的公法线nn，公法线nn与连心线O₁O₂交于点C。由三心定理可知，点C是两轮的相对速度瞬心，故有：

在齿轮啮合原理中，将点C称为啮合节点，简称节点。i₁₂称为传动比。

由以上分析可知：一对齿廓在任一位置啮合时，过接触点作齿廓公法线，必通过节点P，它们的传动比与连心线O₁O₂被节点C所分成两个线段成反比。这一规律称为齿廓啮合基本定律。

通常齿轮传动要求两轮作定传动比传动，则由式
　　　　　　　　

可得节点C为固定点。由此得到两轮作定传动比传动时，其齿廓必须满足的条件：无论两齿廓在何处接触，过接触点作两齿廓的公法线必须通过固定节点C。节点C在两轮运动平面上的轨迹是两个圆，称为齿轮的节圆。因为两轮在节点C处的相对速度等于零，所以一对齿轮的啮合传动可以视为其节圆的纯滚动。

凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。理论上可以作为共轭齿廓的曲线有很多种，但是考虑到设计、制造、测量、安装及使用等问题，目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧等。因渐开线齿廓能较全面地满足上述要求，因此现代的齿轮绝大多数都是采用渐开线齿廓。

如图示，当直线n-n沿圆周作纯滚动时，直线上任意一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线。

1) 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的弧长，即弦KB=弧AB。

(3)发生线与基圆的切点B为渐开线上点K的曲率中心，而线段BK是相应的曲率半径。

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

如图示，基圆愈大，渐开线愈平直；当基圆半径趋于无穷大时，渐开线将成为一条垂直于N3K的直线。后面介绍的齿条的齿廓就是这种直线齿廓。

如图所示，点K为渐开线上任意一点，其向径用r_k表示。若用此渐开线为齿轮的齿廓，当齿轮绕点O转动时，齿廓上点K速度的方向应垂直于直线OK，即沿直线mm。我们把法线BK与点K速度方向线mm之间所夹的锐角称为渐开线齿廓在该点的压力角，用α_k表示,其大小等于∠KOB。

上式表明：渐开线上各点的压力角是不同的，离基圆愈远（矢径rk愈大），其压力角愈大；渐开线起始点A的压力角为零。

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

上式表明：展角θk是压力角αk的函数，称为渐开线函数。
工程上用invαk表示θk，即有

工程中已将不同压力角的渐开线函数计算出来制成表格以备查用，详见表2

如图示，若以渐开线起始点A的矢径OA为极轴，则渐开线上任意一点K的位置可用极坐标描述。联立(a)、(b)两式，可得渐开线的极坐标参数方程式为：

图示为一对渐开线齿廓g1、g2在任意位置啮合，啮合接触点为点K。过点K作这对齿廓的公法线N₁N₂，根据渐开线的性质可知，公法线N₁N₂必同时与两基圆相切，即公法线N₁N₂为两基圆的一条内公切线。由于两基圆的大小和位置均固定不变，其内公切线只有一条。因此，不论两齿廓在任何位置啮合，它们的接触点一定在这条内公切线上（如图中的点K＇）。这条内公切线是接触点K的轨迹，称为啮合线，亦即一对渐开线齿廓的啮合线是一条定直线。

如上所述，无论两齿廓在任何位置啮合，接触点的公法线是一条定直线，而且该直线与连心线O₁O₂的交点C是固定点。因此，一对渐开线齿廓能实现定传动比传动。因图中△O₁N₁C和△O₂N₂C相似，则传动比为：

两齿廓在任意位置啮合时，接触点的公法线与节圆公切线之间所夹的锐角称为啮合角。因为两渐开线齿廓接触点的公法线始终是定直线，所以其啮合角始终不变，而且在数值上恒等于节圆压力角，用α＇表示。在齿轮传动中，两齿廓间正压力的方向是沿其接触点的公法线之间，该方向随啮合角的改变而变化。渐开线齿廓啮合的啮合角不变，故齿廓间正压力的方向也始终不变，这对于齿轮传动的平稳性是十分有利的。

由上式可知：一对渐开线齿廓啮合的传动比决定于其基圆的大小，而齿轮一经设计加工好后，它们的基圆也就固定不变，因此当两轮的实际中心距略有偏差时，仍能保持原传动比，此特点称为渐开线齿廓啮合的可分性。这一特点对渐开线齿轮的制造、安装都是十分有利的。

图示为直齿外齿轮的一部分。齿轮上每个凸起的部分称为齿，相邻两齿之间的空间称为齿槽。齿轮各部分的名称及符号规定如下：

（1） 齿顶圆 过齿轮各齿顶所作的圆，其直径和半径分别用d_a和r_a表示。

（2） 齿根圆 过齿轮各齿槽底部的圆，其直径和半径分别用d_f和r_f表示。

（3） 分度圆 齿顶圆和齿根圆之间的圆，是计算齿轮几何尺寸的基准圆其直径和半径分别用d和r表示。

（4）基圆形成渐开线的圆，其直径和半径分别用d_b和r_b表示。

（5） 齿顶高、齿根高及齿全高 齿顶高为分度圆与齿顶圆之间的径向距离，用h_a表示；齿根高为分度圆与齿根圆之间的径向距离，用h_f表示；齿全高为齿顶圆与齿根圆之间的径向距离，用h表示，显然h=h_a+h_f。

（6） 齿厚、齿槽宽及齿距 在半径为r_k的圆周上，一个轮齿两侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿厚，用s_k表示；在此圆周上，一个齿槽两侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿槽宽，用e_k表示；此圆周上相邻两齿同侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿距，用p_k表示，显然p_k=s_k+e_k。分度圆上的齿厚、齿槽宽及齿距依次用s、e及p表示，p=s+e。基圆上的齿距又称为基节，用p_b表示。

标准齿轮：基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚等于齿槽宽的直齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非标准齿轮。
标准齿轮及其几何尺寸计算公式
　　由齿轮各部分名称的定义可以得到标准齿轮的几何尺寸计算公式，如（外齿轮）：
　分度圆直径　　　d=mz

基本参数
（1）齿数z 　在齿轮整个圆周上轮齿的总数。
（2）模数m 　分度圆的周长=πd=zp，则有：

由于π是无理数，给齿轮的设计、制造及检测带来不便。为此，人为地将比值p/π取为一些简单的有理数，并称该比值为模数，用m表示，单位是mm。我国已制定了模数的国家标准，因此，分度圆直径d = mz，分度圆齿距p = πm。
　　模数m是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数愈大，其尺寸也愈大如上图所示。

3）分度圆压力角α
　　齿轮轮齿齿廓在齿轮各圆上具有不同的压力角，我国规定分度圆压力角α的标准值一般为20°。此外，在某些场合也采用α=14.5°、15°、22.5°及25°等的齿轮。
　　至此，我们可以给分度圆下一个完整的定义：分度圆就是齿轮上具有标准摸数和标准压力角的圆。

（4）顶高系数h^*a和顶隙系数c^*
　　齿轮齿顶高和齿根高的计算式分别是：
　　　　　　　　　　

其中h^*a和c^*分别称为齿顶高系数和顶隙系数。
GB1356-88规定了h^*a和c^*的标准值：
1）正常齿制当m≥1mm时，h^*a=1，c^*=0.25；当m＜1mm时，h^*a=1，c^*=0.35
2）短齿制 h^*a=0.8，c^*=0.3

标准齿轮: 基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚等于齿槽宽的直齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非标准齿轮。标准齿轮的几何尺寸公式见下表。

内齿轮
　　图为一直齿内齿轮的一部分，它与外齿轮的不同点是：
（1）内齿轮的齿廓是内凹的，其齿厚和齿槽宽分别对应于外齿轮的齿槽宽和齿厚。
（2）内齿轮的齿顶圆小于分度圆，齿根圆大于分度圆。
（3）为了使内齿轮与外齿轮组成的内啮合齿轮传动能正确啮合，内齿轮的齿顶圆必须大于基圆。

齿条
　　图为一标准齿条。当标准外齿轮的齿数增加到无穷多时，齿轮的基圆及其他圆都变成互相平行的直线，同侧渐开线齿廓也变成互相平行的斜直线齿廓，这样就形成标准齿条。

齿条的主要特点：
（1）由于齿条齿廓为直线，所以齿廓上各点具有相同的压力角，且等于齿廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为20°。（2）与齿顶线平行的任一条直线上具有相同的齿距和模数。
（3）与齿顶线平行且齿厚等于齿槽宽的直线称为分度线（中线），它是计算齿条尺寸的基准线。

齿轮加工方法很多,以切削加工方法最为常用。范成法是利用一对齿轮啮合原理切削加工齿廓的。如图所示，假设将标准齿条作为刀具，另一齿轮为被切齿轮毛坯。当刀具以v=rω作等速移动，齿轮毛坯以ω作等速转动时，刀具齿廓就能切出被加工齿轮的齿廓。

它与标准齿条基本相同，只是齿顶增加了c^*m的高度，目的是为了切出被切齿轮的径向间隙。因齿条刀的分度线等分其齿高，故又称为中线。刀顶线与直线齿廓之间的过渡处不是直线，而是以半径为ρ的圆角刀刃。它不能切出渐开线齿廓，只能切出齿根部分的过渡曲线。刀顶线是用来切制被切齿轮齿根圆的。

如图所示，齿条刀中线与齿轮坯分度圆相切并作纯滚动。因为刀具中线上的齿厚等于齿槽宽，所以被切齿轮齿槽宽等于齿厚，即e=s。此外，由于分度圆与中线相切，则齿根高等于齿条刀顶线至分度圆的距离(h_a^*+c^*)m。因为齿轮坯的齿顶圆是预先已按标准齿轮的齿顶圆直径加工好了的，故其齿顶高等于h_a^*m，这样切出的齿轮是标准齿轮。

变位齿轮: 当齿条刀中线不与齿轮坯分度圆相切，而是相距（相割或相离）xm时，如图（a）、（c）所示的位置。刀具的移动速度v=rω时，此时平行于刀具中线的一条直线（节线）与轮坯的分度圆相切并作纯滚动，这种改变刀具位置，使中线距离轮坯分度圆为xm时，加工出的齿轮称为变位齿轮，x称为变位系数。距离xm为齿条中线由切制标准齿轮的位置沿轮坯径向离开或靠近齿轮坯中心所移动的距离，称为径向变位量（简称变位量），△=xm

正变位 齿条刀中线远离齿轮中心，变位系数取正值(x>0)，称为正变位，所切出的齿轮称为正变位齿轮，
负变位 齿条刀中线靠近齿轮中心，变位系数取负值(x<0)，称为负变位，所切出的齿轮称为负变位齿轮。

用同一把齿条刀切出齿数相同的标准齿轮、正变位齿轮及负变位齿轮。它们的模数、压力角、分度圆、齿距及基圆等均相同。
　　由于x的不同，虽然它们的齿廓渐开线均由相同的基圆展出，但所取的部位不同，如图所示。
　　它们的齿顶高、齿根高、齿厚及齿槽宽各不相同。
　　以下讨论变位齿轮几何尺寸的变位。

图所示分度圆齿厚和齿槽宽及标准齿条刀切制正变位齿轮的情况。齿条刀中线远离轮坯中心的径向变位量是xm>0，刀具节线上的齿厚较刀距中线上的齿厚减小2KJ。由于轮坯分度圆与刀具节线作纯滚动，被切出齿轮分度圆齿槽宽应等于刀具节线上的齿厚，即被切齿轮分度圆齿槽宽也减小2KJ。由图中关系可知，KJ=xmtgα。故正变位齿轮分度圆齿槽宽为：

对于负变位齿轮，上述两式同样适用，仅将变位系数x用负值代入。

图为外齿轮的一个轮齿，设s_i为轮齿任意半径r_i的圆周上的弧齿厚，s为其分度圆上的弧齿厚，并设s_i和s分别对应的中心角为φ_i和φ，由图知

若以不同圆的半径r和该圆上的渐开线压力角α代入上式，即可求得相应的弧齿厚。

如图所示，加工正变位齿轮，刀具中线与节线分离，移出xm。因此齿根高比标准齿轮减小，即

4．齿顶高和齿顶圆
　　变位齿轮的齿顶圆在切齿加工前已加工好，与轮齿切削加工无关。变位齿轮的齿顶高及齿顶圆均与标准齿轮不同，其变化的情况与一对齿轮啮合传动要求有关，将在下节介绍。

一对渐开线齿廓能保证定传动比传动，但这并不表明任意两个渐开线齿轮都能搭配起来正确啮合传动。为了正确啮合，还必须满足一定的条件。图示一对渐开线齿轮同时有两对齿参加啮合，两轮齿工作侧齿廓的啮合点分别为K和K'。为了保证定传动比，两啮合点K和K'必须同时落在啮合线N₁N₂上；否则，将出现卡死或冲击的现象。这一条件可以表述为

。

和

分别为齿轮1和齿轮2相邻同侧齿廓沿公法线上的距离，称为法向齿距，用p_n1、p_n2表示。因此，一对齿轮实现定传动比传的正确啮合件为两轮的法向齿距相等。又由渐开线性质可知，齿轮法向齿距与基圆齿距相等，则该条件又可表述为两轮的基圆齿距相等，即

式中m₁、m₂和α₁、α₂分别为两轮的模数和压力角。由于齿轮的模数和压力角都已标准化，要使上式成立，可以取

来保证两轮的法向齿距相等。因此，渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件最终表述为：两轮的模数和压力角分别相等。

齿轮传动是通过其轮齿交替啮合而实现的。图所示为一对轮齿的啮合过程。主动轮1顺时针方向转动，推动从动轮2作逆时针方向转动。一对轮齿的开始啮合点是从动轮齿顶圆η₂与啮合线N₁N₂的交点B₂，这时主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触，两轮齿进入啮合。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点将沿着啮合线向左下方移动。一直到主动轮的齿顶圆η₁与啮合线的交点B₁，主动轮的齿顶与从动轮的齿根即将脱离接触，两轮齿结束啮合，B₁点为终止啮合点。线段

为啮合点的实际轨迹，称为实际啮合线段。当两轮齿顶圆加大时，点B₁、B₂分别趋于点N₁、N₂，实际啮合线段将加长。但因基圆内无渐开线，故点B₁、B₂不会超过点N₁、N₂，点N₁、N₂称为极限啮合点。线段

是理论上最长的实际啮合线段，称为理论啮合线段。

连续传动条件　　为保证齿轮定传动比传动的连续性，仅具备两轮的基圆齿距相等的条件是不够的，还必须满足

≥P_b。否则，当前一对齿在点B₁分离时，后一对齿尚末进入点B₂啮合，这样，在前后两对齿交替啮合时将引起冲击，无法保证传动的平稳性。
重合度　　把实际啮合线段

与基圆齿距P_b的比值称为重合度，用ε_α表示。

在实际应用中，ε_α值应大于或等于一定的许用值[ε_α]，即

上式中许用重合度[ε_α]的值是随齿轮机构的使用要求和制造精度而定，推荐的[ε_α]值，见表7.4。

外啮合齿轮的重合度计算公式可参照右图推出：实际啮合线段

，而

重合度的大小表明同时参与啮合的轮齿对数的多少。如ε_α=1表示，齿轮传动的过程中始终只有一对齿啮合。若ε_α=1.3 的情况如图所示，在实际啮合线

的B₂A₁和A₂B₁（长度各为0.3P_b）段有两对轮齿同时在啮合，称为双齿啮合区；而在节点P附近A₁A₂段（长度为0.7P_b），只有一对轮齿在啮合，称为单齿啮合区。

总之，ε_α值愈大，表明同时参加啮合轮齿的对数愈多，这对提高齿轮传动的承载能力和传动的平稳性都有十分重要的意义。

齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩檫发热膨胀而卡死，齿廓之间必须留有间隙，此间隙称为齿侧间隙，简称侧隙。但是，齿侧间隙的存在会产生齿间冲击，影响齿轮传动的平稳性。因此，这个间隙只能很小，通常由齿轮公差来保证。对于齿轮运动设计仍按无齿侧间隙（侧隙为零）进行设计。

一对齿轮啮合过程中，两节圆作纯滚动。因此，两齿轮的节圆齿距应相等，即p₁^`=p₂^` 。为保证无齿侧间隙啮合，一齿轮的节圆齿厚必须等于另一齿轮节圆齿槽宽，即s₁^`=e₂^` 或s₂^`=e₁^`。这样有p₁^`=s₁^`+e₁^`+p₁^`=s₂^`+e₂^`，故p=s₁^`+s₂^`
　　即齿轮啮合传动的无侧隙啮合条件是：节圆齿距等于两轮节圆齿厚之和。

根切现象 如图所示，用范成法切制齿轮的过程中，有时刀具会把齿轮根部已加工好的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。根切将削弱齿根的强度，甚至可能降低重合度，影响传动质量，应尽量避免。

产生原因　图为齿条刀的齿顶线超过极限啮合点N1（啮合线与被切齿轮基圆的切点）的情况。当刀具以速度ν移动到达位置Ⅱ时，刀刃齿廓将被加工轮齿的渐开线齿廓完全切出。范成加工继续进行，刀具移动距离s到达位置Ⅲ，刀刃齿廓与啮合线NN交于点K。与此同时，齿轮相应转过φ角，其基圆转过的弧长

而刀具两位置的垂直距离为

，则

，因此有

。该式表明渐开线齿廓上的点N₁^`落在刀刃的左内侧

，即点N₁^`附近的渐开线被刀刃切掉而产生根切，

如图中的阴影部分所示。

以上分析可知，产生根切的原因是刀具的齿顶线超过极限啮合点N₁，因此可以利用移距变位的方法避免根切。

如图所示，为了避免根切齿条刀采用正变位，变位量为。这样使刀具齿顶线通过极限啮合点N₁，刚好不根切。由此可得不根切的条件为：

因此得出标准齿条刀加工标准齿轮不产生根切的最少齿数z_min ：

当h_a^* =1、α=20^。时，可以得到标准齿轮不产生根切的最少齿数z_min =17。
2）变位齿轮不产生根切的最小变位系数

将

式代入上式并整理，可得变位齿轮不产生根切的最小变位系数为

上式表明：当z<z_min时，为了避免根切，必须采用正变位且x≥x_min>0 ；当 z>z_min时，可以采用负变位（x<0），只要满足x≥x_min 的条件就不会产生根切。

3) 改变齿顶高系数和压力角
　　由式

可知，减小齿顶高系数h_a^* 或加大压力角α，均可提高齿轮避免根切的能力。但是，这样需要采用非标准刀具，成本将增加，一般情况不宜采用。

一对齿轮啮合过程中，两节圆作纯滚动。因此，两齿轮的节圆齿距应相等，即 p₁^`=p₂^` 。为保证无齿侧间隙啮合，一齿轮的节圆齿厚必须等于另一齿轮节圆齿槽宽，即s₁^`=e2^`或p2^`=e₁^`。这样有

，故

即齿轮啮合传动的无侧隙啮合条件是：节圆齿距等于两轮节圆齿厚之和。

上式称为无侧隙啮合方程式。该式表明：一对齿轮的变位系数确定后，只有按此式求得的啮合角α^` 安装，才能保证无侧隙啮合传动。对于标准齿轮传动，因x₁=x₂=0 ，则有α^` =α。

对于正变位齿轮，过大的变位可能引起齿顶变尖（S_a =0）或齿顶厚过小的现象。为了保证齿轮的齿顶强度，齿顶厚不能太小，一般要求 S_a ≥0.25 ，对于表面淬火的齿轮，要求S_a ＞0.4 m。

对于一对标准齿轮而言，因x₁=x₂=0，α^` =α，则其中心距α^` 为

此中心距称为标准安装中心距，简称标准中心距。此时，两轮的分度圆相切并与其节圆重合，既保证无侧隙啮合，又保证顶隙是标准值。顶隙可以避免啮合轮齿的顶部与根部相抵干涉，同时用作储存润滑油。

现以ym表示变位齿轮中心距与标准中心距之差（又称中心距变动量），则有

假想有一把标准齿条刀具，它可以同时双面切削两个正变位齿轮，其变位量分别为x_1m 和x_2m 。两轮均具有标准齿高

和标准顶隙c^*m。从图中可以看出，两轮齿廓与刀具的直线齿廓分别在点A₁、B₁和点A₂、B₂接触，而且轮1上的点A₁和轮2上的点A₂分别处在同一刀刃齿廓两侧不同位置，点B₁和B₂也是如此。因此，当抽去假想齿条刀具，并让两齿轮按此位置安装时，虽然两轮之间具有标准齿顶隙c^*m ，但却出现齿侧间隙。为了实现无侧隙啮合，可把两轮中心靠近，直至无侧隙为止，并设中心距缩短量为Δym 。显然，此时顶隙也将减小Δym，不再是标准顶隙。因此为了实现无侧隙啮合的同时也保证标准顶隙，必须将两轮齿顶削去Δym。这样齿顶高h_a为

以上仅就正变位齿轮进行分析。但可以证明：对于外啮合传动，无论 x₁ 和x₂ 取何值，Δy恒为正值。变位齿轮的全齿高恒大于或等于标准齿轮的全齿高。外啮合变位齿轮传动的几何尺寸计算参看下表。

根据（x₁ +x₂ ）及 x₁ 、x₂ 取值不同，可把齿轮传动分为三种基本类型，即标准齿轮传动、高度变位齿轮传动及角度变位齿轮传动。它们的传动特点比较详见下表。

因渐开线直齿圆柱齿轮沿其轴向有一定宽度，故渐开线齿廓沿齿轮轴向形成一齿面。该齿面的形成原理如图所示，发生面S沿基圆柱作纯滚动时，它上面的一条与基圆柱母线NN平行的直线KK展成直齿轮的齿面，称为渐开柱面。

斜齿轮的齿面形成原理如前页图所示，发生面S沿基圆柱作纯滚动时，它上面的一条与基圆柱母线成夹角β_b的斜直线KK展成斜齿轮的齿面，称为渐开螺旋面。

渐开螺旋面与齿轮端面（垂直于齿轮轴线的截面）的交线仍是渐开线；但它与基圆柱面以及和基圆柱同轴线的任一圆柱面的交线均为螺旋线。基圆柱螺旋线AA（见图b）的切线与齿轮轴线所夹的锐角β_b称为基圆柱螺旋角，简称基圆螺旋角。显然，β_b愈大，轮齿的齿向愈偏斜；但若β_b=0时，斜齿轮就变成直齿轮。

由于斜齿轮的齿面为渐开螺旋面，故其端面齿形与法面（垂直于轮齿方向的截面）齿形是不同的。因此，端面和法面的参数也不同。斜齿轮切齿刀具的选择及轮齿的切制以法面为准，其法面参数取标准值。而斜齿轮的几何尺寸计算却按端面参数进行，为此必须建立端面参数与法面参数之间的换算关系。

斜齿轮分度圆柱螺旋线的切线与其轴线所夹的锐角称为分度圆柱螺旋角，简称分度圆螺旋角或螺旋角，用β表示。斜齿轮不同截面的齿形参数的关系取决于螺旋角，且用它表示斜齿轮轮齿倾斜的程度。β和β_b之间的关系如图所示，将斜齿轮的分度圆柱和基圆展开，可得

其中L为螺旋线的导程，即为螺旋线绕基圆柱一周后上升的高度，斜齿轮任一圆柱面的螺旋线的导程应相同。因此

如图所示，斜齿条的法面齿距p_n与端面齿距p_t存在如下关系：

为了便于分析，用斜齿条说明法面压力角α_n 与端面压力角α_t 之间的关系。在图中，角α_n 的对边

和角α_t 的对边

存在如下关系：

对于斜齿轮，其法面齿顶高与端面齿顶高是相同的，因此有：

斜齿轮的变位距离不论是从法面看还是从端面看均应相同，即　　　

，故有：

由于斜齿轮的强度计算、制造等都是以法面为准，因此需要知道斜齿轮的法面齿形。但法面齿形比较复杂，不易精确计算。这样可以找一个与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮齿形来近似代替，这个相当的直齿轮称为斜齿轮的当量齿轮。当量齿轮的齿数称为当量齿数，用Z_V表示。

如图所示，过斜齿轮分度圆柱螺旋线上的一点C作轮齿的法截面，此截面将分度圆柱剖开，其剖面为一椭圆，C点附近的齿形可看作斜齿轮的法面齿形。椭圆的长半轴a和短半轴b分别为：

一对斜齿圆柱齿轮按其轴平行安装，即组成平行轴斜齿圆柱齿轮机构。它与直齿轮机构一样，用于传递平行轴之间的运动和动力。

直齿轮啮合时，齿面的接触线与齿轮的轴线平行，如图所示。由于轮齿沿整个齿宽既同时进入啮合又同时退出啮合，则轮齿上的载荷也是突然加上又突然卸掉。这样容易引起冲击和振动，不适于高速传动。

一对斜齿轮啮合时，齿面接触线是斜直线，接触线先由短变长，而后又由长变短，直至脱离啮合。因此，斜齿轮传动较平稳，冲击、振动较小，适用于高速、重载传动。

一对平行轴斜齿轮要正确啮合，除应满足直齿轮的正确啮合条件外，还应保证两轮啮合的齿向相同。因此，斜齿轮的正确啮合条件为：

其中"+"号用于内啮合，表示两轮的螺旋角旋向相同；"-"用于外啮合,表示两轮的螺旋角旋向相反。

从端面看，斜齿轮的啮合与直齿轮完全一样。但由于斜齿轮的轮齿沿齿宽方向倾斜了β角度，故当一对轮齿在前端面结束啮合时，该对轮齿在沿齿宽方向的各个端面内仍在啮合，一直到其后端面结束啮合，这对齿才完成整个啮合过程。如图所示，上图为直齿轮啮合，轮齿全齿宽b在B₂B₂位置同时开始啮合，到B₁B₁位置同时脱开啮合；下图为斜齿轮啮合，B₂B₂线位置表示上端面进入啮合，此时下端面尚未进入啮合，直到B₁B₁线位置表示下端面脱开啮合。因此，斜齿轮一对齿的实际啮合区比直齿轮增加了ΔL=tanβ_b 。这样，斜齿轮的总重合度ε_γ由两部分组成：1）与直齿轮一样的重合度，称为端面重合度ε_α；2）沿齿宽方向（轴向）增加的重合度，称为轴面重合度ε_β。即

式中：端面重合度ε_α ，可用端面啮合角α_t和端面齿顶压力角α_αt1 、α_αt2代入式（7.15）求得，即

由以上分析可知：斜齿轮的重合度大于直齿轮的重合度，随螺旋角β和齿宽B的增加而增加大，有时可达10。但由于β增大轴向力也增大，对传动不利，如图所示。通常取 β=8^。~15^。。有时为了抵消轴向力，可以采用由左右对称的斜齿轮组成的人字齿轮，其β可以增大，一般取 β=15^。~40^。。但人字齿轮制造较为困难。

上式表明：标准斜齿轮不根切的最少齿数比直齿轮少，可以得到更为紧凑的结构尺寸。

从端面看，平行轴斜齿轮啮合传动与直齿轮完全相同。因此，其几何尺寸计算应在端面内进行，只要把端面参数代入直齿轮计算公式，即得斜齿轮计算公式。表7.7中给出了一般平行轴斜齿轮传动几何尺寸计算公式（当 x_t1=x_t2=0 时，即为标准斜齿轮传动）。

由斜齿轮传动中心距的公式可知：可以用改变螺旋角β的方法来凑中心距，而不一定要用变位的办法。

若将一对斜齿轮安装成其轴线呈空间交错的状态，就成为交错轴斜齿轮传动机构。这种齿轮传动为点接触啮合传动，不宜传递较大载荷，多用于传递两交错轴间的运动。

渐开线圆柱齿轮精度标准（GB/T10095.1）规定齿轮共有13个精度等级，用数字0～12由高到低依次排列。齿轮精度等级选择，应据传动用途、使用条件、圆周速度、传动功率及性能指标等要求确定，如表7.8所示。

齿轮传动的失效主要发生在轮齿部分，其常见失效形式有：轮齿折断、齿面点蚀、齿面磨损、齿面胶合和塑性变形等五种。齿轮其他部分（如齿圈、轮辐、轮毂等）失效很少发生，通常按经验设计。

轮齿在工作过程中，齿根部受较大的交变弯曲应力，并且齿根圆角及切削刀痕产生应力集中。当齿根弯曲应力超过材料的弯曲疲劳极限时，轮齿在受拉一侧将产生疲劳裂纹，随着裂纹的逐渐扩展，导致轮齿疲劳折断。齿宽较小的直齿轮常发生整齿折断。齿宽较大的直齿轮，因制造装配误差易产生载荷偏置一端，导致局部折断。斜齿轮及人字齿轮的接触线是倾斜的，也容易产生局部折断。轮齿受到短期过载或冲击载荷的作用，会发生过载折断。

采用正变位齿轮，增大齿根过渡圆角半径，提高齿轮制造精度和安装精度，采用表面强化处理（如喷丸、碾压）等，都可以提高轮齿的抗折断能力。

齿轮工作时，在循环变化的接触应力、齿面摩擦力及润滑剂的反复作用下，轮齿表面或次表层出现疲劳裂纹，裂纹逐渐扩展，导致齿面金属剥落形成麻点状凹坑，这种现象称为齿面疲劳点蚀。

齿面疲劳点蚀首先出现在齿面节线偏齿根侧。这是因为节线附近齿面相对滑动速度小，油膜不宜形成，摩擦力较大；　且节线处同时参与啮合的轮齿对数少，接触应力大。点蚀的发展，会产生振动和噪声，以至不能正常工作而失效。　软齿面（≤350HBS）的新齿轮，开始会出现少量点蚀，但随着齿面的跑合，点蚀可能不再继续扩展，这种点蚀称为收敛性点蚀。硬齿面（>350HBS）齿轮，不会出现局限性点蚀，一旦出现点蚀就会继续发展，称为扩展性点蚀。

对于润滑良好的闭式齿轮传动，点蚀是主要失效形式。而在开式传动中，由于齿面磨损较快，一般不会出现点蚀。
　　提高齿面硬度，降低齿面粗糙度值，合理选择润滑油的粘度及采用正变位齿轮传动等，都可以提高齿面抗点蚀能力。

由于粗糙齿面的摩擦或有砂粒、金属屑等磨料落入齿面之间，都会引起齿面磨损。磨损引起齿廓变形和齿厚减薄，产生振动和噪声，甚至因轮齿过薄而断裂。磨损是开式齿轮传动的主要失效形式。采用闭式齿轮传动，提高齿面硬度，降低齿面粗糙度值，注意保持润滑油清洁等，都有利于减轻齿面磨损。

高速重载齿轮传动，因齿面间压力大、相对滑动速度大，在啮合处摩擦发热多，产生瞬间高温，使油膜破裂，造成齿面金属直接接触并相互粘着，而后随齿面相对运动，又将粘接金属撕落，使齿面形成条状沟痕，产生齿面热胶合。低速重载齿轮传动（v≤4m/s ），由于啮合处局部压力很高齿，使油膜破裂而粘着，产生齿面冷胶合。齿面胶合会引起振动和噪声，导致失效。

采用正变位齿轮、减小模数及降低齿高以减小滑动速度，提高齿面硬度，降低齿面粗糙度值，采用抗胶合能力强的齿轮材料，在润滑油中加入极压添加剂等，都可以提高抗胶合能力。

用较软齿面材料制造的齿轮，在承受重载的传动中，由于摩擦力的作用，齿面表层材料沿摩擦力的方向发生塑性变形。主动轮齿面节线处产生凹坑，从动轮齿面节线处产生凸起。提高齿面硬度和润滑油粘度，可以减轻或防止齿面塑性变形的产生。

设计齿轮传动时，应根据实际工况条件，分析主要失效形式，确定相应的设计准则，进行设计计算。

对于闭式齿轮传动，主要失效形式是齿面疲劳点蚀、弯曲疲劳折断及胶合。目前一般齿轮传动，只按齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度两准则进行设计计算。对于高速大功率的齿轮传动，还应按齿面抗胶合能力的准则进行计算。

开式齿轮传动的主要失效形式是磨损及弯曲疲劳折断，目前对磨损尚无成熟的设计计算方法，故通常按齿根弯曲疲劳强度进行设计计算，并将模数增大10%~20%，以考虑磨损的影响。

齿轮材料对齿轮的承载能力和结构尺寸影响很大，合理选择齿轮材料是设计重要内容之一。选择齿轮材料应考虑如下要求：齿面应有足够的硬度，保证齿面抗点蚀、抗磨损、抗胶合和抗塑性变形的能力；轮齿芯部应有足够的强度和韧性，保证齿根抗弯曲能力；此外，还应具有良好的机械加工和热处理工艺性；以及经济性等要求。

制造齿轮材料以锻钢（包括轧制钢材）为主，其次是铸钢、铸铁，还有有色金属和非金属材料等。

制造齿轮的锻钢中以合金钢最为常用，不重要的齿轮采用碳钢。锻钢按热处理方法可分为两类。

常用材料有40Cr、42SiMn、35CrMo、40CrNiMo、30CrNi3及45号碳钢等。一般经调质或正火处理后切齿，齿轮精度一般为8级，高精度切齿可达7级，齿面硬度≤350HBS，称为软齿面齿轮。一对软齿面齿轮啮合，由于小齿轮啮合次数比大齿轮多，小齿轮易磨损，为了使大、小齿轮寿命接近相等，应使小齿轮的齿面硬度比大齿轮高30~50HBS。软齿面齿轮用于齿轮尺寸紧凑性和精度要求不高，载荷不大的中低速场合

齿面硬度＞350HBS的齿轮称为硬齿面齿轮。轮坯切齿后经表面硬化热处理，形成硬齿面，再经磨齿后精度可达6级以上。与软齿面齿轮相比，硬齿面齿轮大大提高齿轮的承载能力，结构尺寸和重量明显减小，综合经济效益显著提高。我国齿轮制造业已普遍采用合金钢及硬齿面、磨齿、高精度、轮齿修形等工艺方法，生产硬齿面齿轮。常用表面硬化热处理主要有：

铸钢的力学性能稍低于锻钢。当齿轮尺寸较大而轮坯难以锻造时，可用铸钢，切齿前须经退火、正火及调质处理。

灰铸铁的抗弯及耐冲击能力都很差，但它易铸造、易切削，具有良好的耐磨性和消震性，成本低廉。可用于低速、载荷不大的开式齿轮传动。
　　球墨铸铁的强度比灰铸铁高得很多，具有良好的韧性和塑性。在冲击不大的情况下，代替钢制齿轮。

有色金属（如铜合金、铝合金）用于有特殊要求的齿轮传动。
　　非金属材料的使用日益增多，常用有夹布胶木和尼龙等工程塑料，用于低速、轻载、要求低噪声而对精度要求不高的场合。由于非金属材料的导热性差，故需与金属齿轮配对使用，以利于散热。

图为直齿圆柱齿轮受力情况，转矩T₁由主动齿轮传给从动齿轮。若忽略齿面间的摩擦力，轮齿间法向力F_n的方向始终沿啮合线。法向力F_n在节点处可分解为两个相互垂直的分力：切于分度圆的圆周力F_t 和沿半径方向的径向力F_r 。

式中： T₁-主动齿轮传递的名义转矩（N·mm），　

， P_l为主动齿轮传递的功率（Kw），n₁为主动齿轮的转速（r/min）；

对于角度变位齿轮传动应以节圆直径d^`和啮合角α^`分别代替式（7.44）中的d₁ 和α。

作用于主、从动轮上的各对力大小相等、方向相反。从动轮所受的圆周力是驱动力，其方向与从动轮转向相同；主动轮所受的圆周力是阻力，其方向与从动轮转向相反。径向力分别指向各轮中心（外啮合）。

图示为斜齿圆柱齿轮受力情况。一般计算，可忽略摩擦力，并将作用于齿面上的分布力用作用于齿宽中点的法向力F_n 代替。法向力F_n 可分解为三个相互垂直的分力，即圆周力Ft 、径向力Fr 及轴向力Fa 。它们之间的关系为

式中：　α_n-法向压力角（°）；
　　　　α_t-端面压力角；（°）
　　　　β-分度圆螺旋角（°）；

作用于主、从动轮上的各对力大小相等、方向相反。圆周力F_t 和径向力F_r 方向的判断与直齿轮相同。轴向力F_a 的方向应沿轴线，指向该齿轮的受力齿面。通常用左右手法则判断：对于主动轮，左旋时用左手（右旋时用右手），四指顺着齿轮转动方向握住主动轮轴线，则拇指伸直的方向即为轴向力F_a1 的方向。

名义载荷 　上述所求得的各力是用齿轮传递的名义转矩求得的载荷。
计算载荷 　由于原动机及工作机的性能、齿轮制造及安装误差、齿轮及其支撑件变形等因素的影响，实际作用于齿轮上的载荷要比名义载荷大。因此，在计算齿轮传动的强度时，用载荷系数K对名义载荷进行修正，名义载荷与载荷系数的乘积称为计算载荷。
法向计算载荷F_nc 为：

式中： K -载荷系数
　　　　K_A-使用系数
　　　　K_v-动载荷系数
　　　　K_α-齿间载荷分配系数
　　　　K_β-齿向载荷分配系数

使用系数K_A 是考虑齿轮啮合时外部因素引起的附加动载荷的影响系数。它取决于工作机和原动机的工作特性、轴与联轴器系统的质量和刚度以及运行状态。对于一般设计，K_A 值可按表7.10选取。

注：表中所列K_A 值仅适用于减速传动；对于增速传动，建议取表中数值的1.1倍。当外部机械与齿轮装置之间为挠性连接时，K_A 可适当减小。

动载荷系数K_v 是考虑齿轮副自身啮合误差引起的内部附加动载荷的影响系数。产生附加动载荷的主要因素有：
1）齿轮制造产生的基节误差和齿形误差；
2）在啮合传动中，同时参加啮合轮齿的对数及位置在循环变化，轮齿啮合刚度也随之变化；
3）轮齿受载变形；
4）齿轮支承件的弹性变形等。
　　上述因素导致啮合节点位置变化，故从动轮转速变化，产生附加动载荷。

动载荷系数K_v 值应通过实测或计算得到。一般设计可参考下图选取。

适当提高制造精度，降低齿轮圆周速度，增加轮齿及支承件的刚度，对齿轮进行修形（即对齿顶的一小部分齿廓曲线进行适量修削）等，都能减小内部附加动载荷。

齿间载荷分配系数K_α 是考虑同时啮合的各对轮齿间载荷分配不均匀影响的系数。影响齿间载荷分配不均匀的主要因素有：受载后轮齿变形；齿轮的制造误差，特别是基节误差；齿轮的跑合效果及齿廓修形等。对于一般工业传动用的直齿轮和β≤30°的斜齿轮K_α值可按表7.11选取。

表中：K_Hα为齿面接触疲劳强度计算用的齿间载荷分配系数； K_Fα为齿根弯曲疲劳强度计算用的齿间载荷分配系数。

注：①适用于钢制及铸铁齿轮；
　　②对修形6级精度硬齿面斜齿轮，取 K_Hα=K_Fα =1.0；
　　③齿轮副精度等级不同时，按精度等级较低者取值。

齿向载荷分布系数K_β是考虑沿齿宽方向载荷分布不均匀对齿轮强度影响的系数。影响沿齿宽方向载荷分布不均匀的因素很多，主要有：齿轮的制造和安装误差；轮齿、轴系部件和箱体的变形；齿宽及齿面硬度等。

齿面接触疲劳强度计算用的齿向载荷分布系数K_Hβ 值可根据齿轮在轴上布置形式、齿轮的精度等级、齿宽b及齿宽系数φ_d （=b/d）从表查取；

齿根弯曲疲劳强度计算用的齿向载荷分布系数K_Fβ 值可根据K_Hβ 值、齿宽与齿高比（b/h）按下图查取

提高轮齿、轴系部件和箱体的刚度，合理布置齿轮位置（尽可能不用悬臂布置），合理选择齿宽，提高制造和安装精度，对轮齿作鼓形修形等，都有利于改善载荷分布不均匀现象。

为了保证在预定寿命内齿轮不发生点蚀失效，应进行齿面接触疲劳强度计算。因此，齿轮接触疲劳强度计算准则为：齿面接触应力s_H小于或等于许用接触应力s_HP，即

由于直齿轮在节点附近往往是单对齿啮合区，轮齿受力较大，故点蚀首先出现在节点附近。因此，通常计算节点的接触疲劳强度。图a表示一对渐开线直齿圆柱齿轮在节点接触的情况。为了简化计算，用一对轴线平行的圆柱体代替它。两圆柱的半径ρ1、ρ2分别等于两齿廓在节点处的曲率半径，如图b所示。由弹性力学可知，当一对轴线平行的圆柱体相接触并受压力作用时，将由线接触变为面接触，其接触面为一狭长矩形，在接触面上产生接触应力，并且最大接触应力位于接触区中线上，其数值为

Z_E-材料弹性系数（

），

，其中E₁、E₂分别为两圆柱体材料的弹性模量（MPa）；m₁、m₂分别为两圆柱体材料的泊松比。

上式表明接触应力应随齿廓上各接触点的综合曲率半径的变化而不同，且靠近节点的齿根处最大（图c、d）。但为了简化计算，通常控制节点处的接触应力。

式中：

，称为齿数比。对减速传动，u=i；对增速传动，u=1/i。

设齿宽系数

，并将

代入上式，则得齿面接触疲劳强度的设计公式

式中:　d₁-小齿轮分度圆直径（mm）；Z_E-材料弹性系数(

)，按下表查取；

	大齿轮
小齿轮	材料		钢	铸钢	球墨铸铁	灰铸铁
		E（MPa）	206000	202000	173000	126000
	钢	206000	187.8	188.9	181.4	165.4
	铸钢	202000	---	188.0	180.5	161.4
	球墨铸铁	173000	---	---	173.9	156.6
	灰铸铁	126000	---	---	---	146.0

Z_H-节点区域系数，考虑节点处轮廓曲率对接触应力的影响，可由下左图查取。对于标准直齿轮，a=25⁰，Z_H=2.5

Z_e-重合度系数，考虑重合度对单位齿宽载荷的影响，其值可由下右图查取

在齿面接触疲劳强度计算中，配对齿轮的接触应力应相等，即s_H1=s_H2。但两齿轮的许用接触应力分别与各自齿轮的材料、热处理、应力循环次数有关，一般不相等，即s_HP1=s_HP2。因此，在使用设计公式或校核公式时，应取s_HP1和s_HP2中较小者代入计算。

计算准则 为了保证在预定寿命内不发生轮齿断裂失效，应进行齿根弯曲疲劳强度计算。其计算准则为：齿根弯曲应力s_F小于或等于许用弯曲应力s_FP，即

由于齿轮轮体的刚度较大，因此可将轮齿看作为悬臂梁。其危险截面可用30^o切线法确定（如下左图），即作与轮齿对称线成30^o角并与齿根过渡圆弧相切的两条切线，通过两切点并平行于齿轮轴线的截面即为轮齿危险截面。

理论分析可知：齿根产生最大弯矩的载荷作用点应为单对齿啮合区的外界点D（如上右图），但计算比较复杂，通常用于高精度齿轮传动（6级精度以上）的弯曲强度计算。对于制造精度较低（如7、8、9级精度）的齿轮传动，为了简化计算，通常假设全部载荷作用于齿顶并仅由一对齿承担。对由此引起的误差，用重合度系数Y_e予以修正。

如上左图所示，作用于齿顶的法向力F_n，可分解为相互垂直的两个分力：切向分力F_ncosa_F使齿根产生弯曲应力和切应力，径向分力F_nsina_F使齿根产生压应力。其中切应力和压应力起得作用很小，疲劳裂纹往往从齿根受拉边开始。因此，只考虑起主要作用的弯曲拉应力，并以受拉侧为弯曲疲劳强度计算的依据。对切应力、压应力以及齿根过渡曲线的应力集中效应的影响，用应力修正系数Y_sa予以修正。

设力臂为h_F，危险截面宽度为S_F，齿根危险截面的名义弯曲应力为

计入载荷系数K、重合度系数Y_e、应力修正系数Y_sa，则得齿根弯曲疲劳强度的校核公式为

式中 Y_Fa-为载荷作用于齿顶的齿形系数，用以考虑齿廓形状对齿根弯曲应力s_F的影响。Y_Fa是无因次量，凡影响齿廓形状的参数（如Z、x、α等）都影响Y_Fa（下上图），而与模数无关。Y_Fa值可由下下图查取。

在齿根弯曲疲劳强度计算中，配对齿轮的齿形系数Y_Fa、应力修正系数Y_sa、许用弯曲应力s_FP可能不相同。因此，在校核计算时，两齿轮要分别进行；而在使用设计公式时，应取Y_Fa1Y_sa1/s_FP1和Y_Fa2Y_sa2/s_FP2中的较大者代入计算。

式中：s_Hlim-失效概率为1%时，试验的齿面接触疲劳极限，由材料的s_Hlim查取。图中ML、MQ、ME表示对材料质量和热处理要求的等级（ML-低、MQ-中、ME-高），一般按MQ选择s_Hlim。

Z_N-接触疲劳强度的寿命系数，其值可根据所设计齿轮的应力循环次数N=60nkt_h（n为齿轮转速，k为齿轮每转一周同侧齿面啮合的次数，t_h为齿轮设计的工作小时数），由接触疲劳强度寿命系数Z_N查取。

Z_W-工作硬化系数；考虑软（大齿轮）硬（小齿轮）齿面组合传动过程中，小齿轮对大齿轮齿面产生冷作硬化，使大齿轮的许用接触应力得以提高，故引进该系数。其值可按下式计算：

式中　HB为大齿轮齿面的布氏硬度值；当HB≤130HBS时，取Z_W=1.2；当HB≥470HBS时，取Z_W=1；
　　　　　Z_X-接触疲劳强度的尺寸系数，考虑尺寸增大使材料强度降低的系数,其值由图查取；

式中：s_Flim-失效概率为1%时，试验齿轮的弯曲疲劳极限，由齿轮材料弯曲疲劳极限应力s_Flim查取。当双向受载时，应将查得的s_Flim值乘以0.7

Y_N--弯曲疲劳强度计算的寿命系数，可根据所设计的齿轮的应力循环次数N,由抗弯疲劳强度寿命系数Y_N查取

Y_ST-实验齿轮的应力修正系数,取 Y_ST=2.0；
　　YX-弯曲疲劳强度的尺寸系数，由图查取；

几何参数的选择对齿轮的结构尺寸和传动质量有很大影响，。在满足强度条件下，应合理选择。

为了避免齿轮传动的尺寸过大，齿数比u不宜过大，一般取u≤7。当要求传动比大时，可以采用两级或多级齿轮传动。

模数m直接影响齿根弯曲强度，而对齿面接触强度没有直接影响。用于传递动力的齿轮，一般应使m>1.5～2mm,以防止过载时轮齿突然折断。

标准齿轮z_min≥17，若允许轻微根切或采用变位齿轮，z_min可以少到14或更少。

对于闭式软齿面齿轮传动，按齿面接触强度确定小齿轮直径d₁后，在满足抗弯疲劳强度的前提下，宜选取较小的模数和较多的齿数，以增加重合度，提高传动的平稳性，降低齿高，减轻齿轮重量，并减少金属切削量。通常取z₁=20～40。对于高速齿轮传动还可以减小齿面相对滑动，提高抗胶合能力。

对于闭式硬齿面和开式齿轮传动，承载能力主要取决于齿根弯曲疲劳强度，模数不宜太小，在满足接触疲劳强度的前提下，为避免传动尺寸过大，z₁应取较小值，一般取z₁＝17～20。

配对齿轮的齿数以互质数为好，至少不要成整数比，以使所有齿轮磨损均匀并有利于减小振动。

当载荷一定时，F_d选大值，可减小齿轮直径和中心距，使传动更紧凑。但齿宽将增大，载荷沿齿向分布不均匀现象会更严重。因此应合理选择F_d。对于闭式固定传动比的齿轮传动，当齿轮精度高并轴的刚度大时，可选较大的值F_d。一般可参考齿宽系数F_d的推荐值选取

对于基于中心距的齿宽系数F_a（＝b/a）, 与的关系为F_d=F_a(u+1)/2（外啮合），设计时可换算。

为保证装配后的接触宽度，通常取小齿轮齿宽b₁比大齿轮齿宽b₂大５～１０mm，强度计算时取b=b₂大。

采用变位齿轮传动的主要目的：提高齿轮强度，改善传动质量，避免根切，凑中心距等。为了实现这些目的，必须合理选择变位系数。以下介绍一种线图法，首先根据使用要求，以齿数和z_S(=z₁+z₂)在图外啮合齿轮变位系数选择范围a上选择适当的总变位系数x_S(=x₁+x₂)。然后用图外啮合齿轮变位系数选择范围b分配变位系数x₁和x₂。即以z_S/2和z_S/2的坐标值求得交点，过交点按相邻的两条射线L作射线，再分别过横坐标z₁和z₂作垂线与该射线相交，交点的纵坐标即为变位系数x₁和x₂的值。

斜齿圆柱齿轮传动的强度计算是以其当量直齿轮为对象进行的。因此，直齿圆柱齿轮的强度计算的方法原则上适用于斜齿轮传动，并考虑斜齿轮传动的特点，求出其强度计算公式。

斜齿轮节点处的综合曲率半径应按法面计算，其法面曲率半径r_n为

由于斜齿轮的接触线是倾斜的，对接触疲劳强度产生有利的影响，故引进螺旋角系数

予以考虑。斜齿轮接触线的长度L不仅要考虑端面重合度e_a，还要考虑轴向重合度e_b的影响。引入重合度Z_e，则其平均长度为

斜齿轮的齿根弯曲疲劳强度计算，通常按其法面当量齿轮进行，各参数均为法面参数。由于斜齿轮的接触线是倾斜的，轮齿多为局部折断，其承载能力比直齿轮显著增加。因此，螺旋角对齿根弯曲强度产生的有利影响，用螺旋角系数Y_b予以考虑。则齿根弯曲疲劳强度的校核公式为

Y_e-重合度系数，根据端面重合度系数和轴向重合度，由下式计算

当e_b>1时，取e_b=1；当b>30°时，取b=30°。其他参数与直齿轮传动相同。

锥齿轮是圆锥齿轮的简称，它用来实现两相交轴之间的传动,两轴交角S称为轴角，其值可根据传动需要确定，一般多采用90°。锥齿轮的轮齿排列在截圆锥体上，轮齿由齿轮的大端到小端逐渐收缩变小，如下图所示。由于这一特点，对应于圆柱齿轮中的各有关"圆柱"在锥齿轮中就变成了"圆锥"，如分度锥、节锥、基锥、齿顶锥等。锥齿轮的轮齿有直齿、斜齿和曲线齿等形式。直齿和斜齿锥齿轮设计、制造及安装均较简单，但噪声较大，用于低速传动（＜5m/s）；曲线齿锥齿轮具有传动平稳、噪声小及承载能力大等特点，用于高速重载的场合。本节只讨论S=90°的标准直齿锥齿轮传动

直齿锥齿轮齿廓曲面的形成与圆柱齿轮类似。如下图所示，发生平面1与基锥2相切并作纯滚动，该平面上过锥顶点O的任一直线OK的轨迹即为渐开锥面。渐开锥面与以O为球心，以锥长R为半径的球面的交线AK为球面渐开线，它应是锥齿轮的大端齿廓曲线。但球面无法展开成平面，这就给锥齿轮的设计制造带来很多困难。为此产生一种代替球面渐开线的近似方法。

下图为一锥齿轮的轴向半剖面，其中DOAA为分度锥的轴剖面，锥长OA称锥距，用R表示；以锥顶O为圆心，以R为半径的圆应为球面的投影。若以球面渐开线作锥齿轮的齿廓，则园弧bAc为轮齿球面大端与轴剖面的交线，该球面齿形是不能展开成平面的。为此，再过A作O₁A⊥OA，交齿轮的轴线于点O₁。设想以OO₁为轴线，以O₁A为母线作圆锥面O₁AA，该圆锥称为锥齿轮的大端背锥。显然，该背锥与球面切于锥齿轮大端的分度圆。由于大端背锥母线₁A与锥齿轮的分度锥母线相互垂直，将球面齿形的圆弧bAc投影到背锥上得到线段b'Ac'，圆弧bAc与线段b'Ac'非常接近，且锥距R与锥齿轮大端模数m之比值愈大（一般

），两者就更接近。这说明：可用大端背锥上的齿形近似地作为锥齿轮的大端齿形。由于背锥可展开成平面并得到一扇形齿轮，扇形齿轮的模数m、压力角a和齿高系数h_a^*等参数分别与锥齿轮大端参数相同。再将扇形齿轮补足成完整的直齿圆柱齿轮，这个虚拟的圆柱齿轮称为该锥齿轮的大端当量齿轮。这样就可用大端当量齿轮的齿形近似地作为锥齿轮的大端齿形，即锥齿轮大端轮齿尺寸（h_a、h_f等）等于当量齿轮的轮齿尺寸。

由于直齿锥齿轮大端的尺寸最大，测量方便。因此，规定锥齿轮的参数和几何尺寸均以大端为准。大端的模数m的值为标准值，按下表选取。在GB12369-90中规定了大端的压力角a=20^。，齿顶高系数h_a^*=1，顶隙系数c^*=0.2。

锥齿轮模数（摘自GB12368-90）
…	1	1.125	1.25	1.375	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
3.25	3.5	3.75	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	8	…

当量齿轮的齿数z_v称为锥齿轮的当量齿数。z_v与锥齿轮的齿数z的关系可由上图求出，由图可得当量齿轮的分度圆半径r_v

下图为一对锥齿轮的轴向剖面图。该对锥齿轮的轴角等于两分度锥角之和，即

由于直齿锥齿轮传动强度计算及重合度计算的需要引进一对当量齿轮（上图），它们是用该对锥齿轮齿宽中点处的背锥展开所得到的。当量齿轮的分度圆半径d_v1/2和d_v2/2分别为这对锥齿轮齿宽b中点处背锥的母线长；模数即为齿宽中点的模数，称为平均模数m_m。

一对锥齿轮的啮合传动相当于其当量齿轮的啮合传动。因此有如下特点：

(2) 连续传动条件 e>1，重合度e可按其齿宽中点的当量齿轮计算。

根据锥齿轮传动的特点，其基本几何尺寸按大端计算，但锥齿轮齿宽中点处及其当量齿轮的几何尺寸必须通过大端导出。

(2) 齿宽中点的分度圆直径（平均分度圆直径）d_m和平均模数m_m

(3) 齿宽中点处当量齿轮的分度圆直径d_mv、当量齿数z_v及齿数比u_v

式中齿数比影响分度锥顶角的大小，一般取u≤3，最大不超过5。

直齿锥齿轮的强度计算比较复杂。为了简化计算，通常按其齿宽中点的当量齿轮进行强度计算。这样，就可以直接引用直齿圆柱齿轮的相应公式。

因直齿锥齿轮的制造精度较低，在强度计算中一般不考虑与重合度的影响，即取齿间载荷分配系数K_a、重合度系数Z_e、Y_e的值为1。

忽略齿面摩擦力，并假设法向力F_n集中作用在齿宽中点上，在分度圆上可将其分解为圆周力F_t、径向力F_r和轴向力F_a相互垂直的三个分力，如下图所示。各力的大小分别为

各力的方向 主动轮圆周力的方向与轮的转动方向相反，从动轮圆周力的方向与轮的转动方向相同；主、从动轮径向力分别指向各自的轮心；轴向力则分别指向各自的大端。

K_v-动载荷系数，降低一级精度等级，用齿宽中点的圆周速度由动载荷系数K_v图查取

将当量齿轮的有关参数代入上式中，可得直齿圆锥齿轮传动的齿面接触疲劳强度校核公式为

将当量齿轮的有关参数代入式

和

中，可得直齿圆锥齿轮传动的齿根弯曲疲劳强度校核公式和设计公式

齿轮结构设计主要确定齿轮的轮缘、轮毂及腹板（轮辐）的结构形式和尺寸大小。结构设计通常要考虑齿轮的几何尺寸、材料、使用要求、工艺性及经济性等因素，确定适合的结构型式，再按设计手册荐用的经验数据确定结构尺寸。齿轮结构形式有以下四种：

当齿轮的齿根圆到键槽底面的距离e很小，如圆柱齿轮e≤2.5m_n(下图一a)，圆锥齿轮的小端e≤1.6m(下图一b)，为了保证轮毂键槽足够的强度，应将齿轮与轴作成一体，形成齿轮轴，如下图二所示。

当齿顶圆直径d_a≤200mm或高速传动且要求低噪声时，可采用上图一的实心结构。实心齿轮和齿轮轴可以用热轧型材或锻造毛坯加工。

对于齿顶圆直径d_a≤500mm时，可采用辐板式结构，以减轻重量、节约材料。通常多选用锻造毛坯，也可用铸造毛坯及焊接结构。有时为了节省材料或解决工艺问题等，而采用组合装配式结构，如过盈组合和螺栓联结组合。

对于齿轮直径时，采用轮辐式结构。受锻造设备的限制，轮辐式齿轮多为铸造齿轮。轮辐剖面形状可以采用椭圆形（轻载）、十字形（中载）、及工字形（重载）等。

2）啮合齿面间压力大，而且相对滑动的大小和方向变化大，齿轮常处于边界润滑和混合润滑状态；

5）齿轮的材料、热处理、加工和装配精度及齿面粗糙度等影响因素。

L-CKB抗氧防锈型工业齿轮油、L-CKC中载荷工业齿轮油和L-CKD重载荷工业齿轮油，每一种又分为若干粘度级。

2）选择润滑油粘度可先计算力-速度因子x=K_s/v，v为齿轮圆周速度（m/s），K_s为滚动压力（MP），其定义式为

式中各参数与前述相同；再根据求得的x值，由力－粘度因子图查得粘度值（mm²/s）。

3）对得到的粘度值还应根据齿轮传动的工作条件等按粘度修正表进行修正

开式齿轮油种类选择

开式齿轮油种类	适用范围
抗氧防锈开式齿轮油	工作平稳的半封闭和开式传动
极压开式齿轮油	重载开式传动s_H>500MP/mm
溶剂稀释开式齿轮油	重载开式传动s_H>500MP/mm2

开式齿轮油粘度选择

给油方法		推荐粘度（100°C）（mm2/s）
		环境温度（°C）
		-15～17	5～38	22～48
油浴		150～220	16～22	22～26
涂刷	热	193～257	193～257	386～536
涂刷	冷	22～26	32～41	193～257
手涂		150～220^*	22～26	32～41

闭式齿轮传动的润滑方式取决于齿轮的圆周速度。当v≤15m/s时，常采用油浴润滑（如下图），即大齿轮浸入油池中，靠大齿轮转动将油带入啮合区进行润滑。

当v>15m/s时，由于离心力较大，靠大齿轮难以将油池中的油带入啮合区,因而常采用循环喷油润滑（如下图），一般用0.5～1.0×105Pa的压力把油喷入啮合区。当v>60m/s，散热是主要问题，油从轮齿的啮出侧喷入，不仅对轮齿进行润滑，而且还起冷却作用。对于载荷不大的场合，还可以采用油雾润滑

开式齿轮传动，因速度低，一般采用人工定期加润滑油或润滑脂，润滑方式见上图

齿轮传动适应用最广泛机械传动。本章重点讨论平面齿轮传动的运动设计和承载能力设计，运动设计的主要内容包括：啮合原理、传动特点、基本参数及主要几何尺寸计算等；承载能力设计的主要内容包括：、齿轮精度、齿轮材料及热处理、齿轮传动的失效、齿面接触疲劳强度计算、齿根弯曲疲劳强度计算、齿轮结构设计和齿轮润滑设计等。

平面齿轮传动即圆柱齿轮传动，用于传递平行轴间的运动和动力，空间齿轮传动用于传递两相交轴或交错轴间的运动和动力。
　　渐开线齿廓满足定传动比的要求，从啮合性能、制造、互换性等方面优于其他齿廓的齿轮。其啮合特点：啮合线为两齿轮基圆的内公切线，啮合角始终不变，中心距具有可分性等。其传动的运动设计条件：正确啮合条件保证轮齿正常交替啮合，连续传动条件保证传动不间断，不根切条件保证齿根不削弱，还有无齿侧隙条件等。

齿轮的主要几何尺寸的确定取决于承载能力的计算，一般设计，主要进行齿面接触疲劳强度计算和齿根弯曲疲劳强度计算，以确定分度圆直径或模数，再确定其他几何尺寸。强度计算的载荷为计算载荷，而计算载荷又为名义载荷与载荷系数的乘积，名义载荷是通过简化的受力分析而得到的，载荷系数由考虑若干影响因素的系数所组成。对于计算应力的处理，同样要考虑若干影响因素，并引入相应的系数；许用应力的确定也要考虑干影响因素。因此，齿轮传动的强度计算是建立在一定数学力学模型基础上的经验性计算，合理地确定上述系数是十分重要的。齿轮传动的精度确定、材料及热处理的选择也直接影响承载能力。齿轮的结构设计和润滑设计是齿轮传动设计的重要组成部分。
　　标准直齿圆柱齿轮传动设计是本章的核心，也是直齿变位齿轮、平行轴斜齿轮、直齿锥齿轮等齿轮传动的基础，应重点掌握。其他齿轮传动应掌握其特点。