第7章齿轮机构设计

本章以渐开线直齿圆柱齿轮传动为主线，阐述圆柱齿轮传动的运动设计和承载能力设计。运动设计主要包括啮合原理及啮合特点、基本参数和几何尺寸计算等内容；承载能力设计主要包括设计计算准则、齿轮失效、力分析和强度计算等内容。在此基础上，简明介绍直齿锥齿轮传动设计及齿轮润滑设计。

1) 了解齿轮传动的特点、应用及类型；
　　(2) 理解齿廓啮合基本定律,掌握渐开线齿廓的形成及其性质，并能在后续相关内容中运用；熟练掌握渐开线圆柱齿轮的基本参数、标准齿轮的几何尺寸计算，能够正确计算；掌握范成法切齿原理、标准齿轮和变位齿轮切制特点以及变位齿轮的尺寸变化。
　　(3) 深入理解直齿轮传动运动设计应满足的六个条件及重合度、不根切最少齿数、无侧隙啮合方程等内容，并正确运用重合度等公式进行计算；掌握圆柱齿轮传动的几何尺寸计算及中心距变动系数、齿顶高变动系数等概念；了解标准齿轮传动、高度变位齿轮传动及角度变位齿轮传动的特点。
　　(4) 理解斜圆柱齿轮齿廓曲面的形成、基本参数与螺旋角的关系、当量齿轮及当量齿数的概念；理解平行轴斜齿轮传动运动设计的条件，并正确运用其几何尺寸公式进行计算；了解交错轴斜齿轮传动的特点。
　　(5) 了解齿轮精度选择的方法，五种失效形式的特点、生成机理及予防或减轻损伤的措施；掌握齿轮材料选择要求、常用钢铁材料选用及其热处理特点。
　　(6) 熟练掌握齿轮传动的受力分析，特别是平行轴斜齿轮轴向力的大小和方向的确定，直齿锥齿轮传动轴向力与径向力的关系；理解几个载荷修正系数的意义及其影响因素，减小其影响的方法；
　　(7) 熟练掌握直齿圆柱传动的齿面接触疲劳强度计算和齿根弯曲疲劳强度的计算基本理论依据，推导公式的思路，公式中各个参数和系数的意义，掌握其确定方法；参考示范例题，掌握齿轮传动设计的步骤，正确地进行直齿轮传动的强度设计计算；了解平行轴斜齿轮传动和直齿锥齿轮传动的当量齿轮的意义，掌握平行轴斜齿轮传动和直齿锥齿轮传动强度计算特点。
　　(8) 掌握齿轮四种结构形式的特点和选择，并能画出齿轮零件的工作图；掌握齿轮传动润滑油种类、粘度及润滑方式的选择。

齿轮机构是现代机械中应用最广泛的传动机构，用于传递空间任意两轴或多轴之间的运动和动力。

齿轮传动主要优点：传动效率高，结构紧凑，工作可靠、寿命长，传动比准确。

齿轮机构主要缺点：制造及安装精度要求高，价格较贵，不宜用于两轴间距离较大的场合。

按轴的相对位置	平行轴齿轮传动机构^①
按轴的相对位置	相交轴齿轮传动机构、交错轴齿轮传动机构^②
按齿线相对齿轮体母线相对位置	直齿、斜齿、人字齿、曲线齿
按齿廓曲线	渐开线齿、摆线齿、圆弧齿
按齿轮传动机构的工作条件	闭式传动、开式传动、半开式传动^③<
按齿面硬度	软齿面（≤350HB）、硬齿面（>350HB）

② 相交轴齿轮传动机构和交错轴齿轮传动机构统称为空间齿轮传动机构.

③ 闭式传动的齿轮封闭在箱体内，润滑良好；开式传动的齿轮是完全外露的，不能保证良好润滑；半开式传动的齿轮浸在油池内，装有防护罩，不封闭。

在齿轮传动机构的研究、设计和生产中，一般要满足以下两个基本要求：

1. 传动平稳--在传动中保持瞬时传动比不变，冲击、振动及噪音尽量小。

2.承载能力大--在尺寸小、重量轻的前提下，要求轮齿的强度高、耐磨性好及寿命长。

图示为一对作平面啮合的齿轮，两轮的齿廓曲线分别为G₁和G₂。设轮1绕轴O₁以角速度ω₁转动，轮2绕轴O₂以角速度ω₂转动，图中点K为两齿廓的接触点，过点K作两齿廓的公法线nn，公法线nn与连心线O₁O₂交于点C。由三心定理可知，点C是两轮的相对速度瞬心，故有：

在齿轮啮合原理中，将点C称为啮合节点，简称节点。i₁₂称为传动比。

由以上分析可知：一对齿廓在任一位置啮合时，过接触点作齿廓公法线，必通过节点P，它们的传动比与连心线O₁O₂被节点C所分成两个线段成反比。这一规律称为齿廓啮合基本定律。

通常齿轮传动要求两轮作定传动比传动，则由式
　　　　　　　　

可得节点C为固定点。由此得到两轮作定传动比传动时，其齿廓必须满足的条件：无论两齿廓在何处接触，过接触点作两齿廓的公法线必须通过固定节点C。节点C在两轮运动平面上的轨迹是两个圆，称为齿轮的节圆。因为两轮在节点C处的相对速度等于零，所以一对齿轮的啮合传动可以视为其节圆的纯滚动。

凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。理论上可以作为共轭齿廓的曲线有很多种，但是考虑到设计、制造、测量、安装及使用等问题，目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧等。因渐开线齿廓能较全面地满足上述要求，因此现代的齿轮绝大多数都是采用渐开线齿廓。

如图示，当直线n-n沿圆周作纯滚动时，直线上任意一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线。

1) 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的弧长，即弦KB=弧AB。

(3)发生线与基圆的切点B为渐开线上点K的曲率中心，而线段BK是相应的曲率半径。

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

如图示，基圆愈大，渐开线愈平直；当基圆半径趋于无穷大时，渐开线将成为一条垂直于N3K的直线。后面介绍的齿条的齿廓就是这种直线齿廓。

如图所示，点K为渐开线上任意一点，其向径用r_k表示。若用此渐开线为齿轮的齿廓，当齿轮绕点O转动时，齿廓上点K速度的方向应垂直于直线OK，即沿直线mm。我们把法线BK与点K速度方向线mm之间所夹的锐角称为渐开线齿廓在该点的压力角，用α_k表示,其大小等于∠KOB。

上式表明：渐开线上各点的压力角是不同的，离基圆愈远（矢径rk愈大），其压力角愈大；渐开线起始点A的压力角为零。

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

上式表明：展角θk是压力角αk的函数，称为渐开线函数。
工程上用invαk表示θk，即有

工程中已将不同压力角的渐开线函数计算出来制成表格以备查用，详见表2

如图示，若以渐开线起始点A的矢径OA为极轴，则渐开线上任意一点K的位置可用极坐标描述。联立(a)、(b)两式，可得渐开线的极坐标参数方程式为：

图示为一对渐开线齿廓g1、g2在任意位置啮合，啮合接触点为点K。过点K作这对齿廓的公法线N₁N₂，根据渐开线的性质可知，公法线N₁N₂必同时与两基圆相切，即公法线N₁N₂为两基圆的一条内公切线。由于两基圆的大小和位置均固定不变，其内公切线只有一条。因此，不论两齿廓在任何位置啮合，它们的接触点一定在这条内公切线上（如图中的点K＇）。这条内公切线是接触点K的轨迹，称为啮合线，亦即一对渐开线齿廓的啮合线是一条定直线。

如上所述，无论两齿廓在任何位置啮合，接触点的公法线是一条定直线，而且该直线与连心线O₁O₂的交点C是固定点。因此，一对渐开线齿廓能实现定传动比传动。因图中△O₁N₁C和△O₂N₂C相似，则传动比为：

两齿廓在任意位置啮合时，接触点的公法线与节圆公切线之间所夹的锐角称为啮合角。因为两渐开线齿廓接触点的公法线始终是定直线，所以其啮合角始终不变，而且在数值上恒等于节圆压力角，用α＇表示。在齿轮传动中，两齿廓间正压力的方向是沿其接触点的公法线之间，该方向随啮合角的改变而变化。渐开线齿廓啮合的啮合角不变，故齿廓间正压力的方向也始终不变，这对于齿轮传动的平稳性是十分有利的。

由上式可知：一对渐开线齿廓啮合的传动比决定于其基圆的大小，而齿轮一经设计加工好后，它们的基圆也就固定不变，因此当两轮的实际中心距略有偏差时，仍能保持原传动比，此特点称为渐开线齿廓啮合的可分性。这一特点对渐开线齿轮的制造、安装都是十分有利的。

图示为直齿外齿轮的一部分。齿轮上每个凸起的部分称为齿，相邻两齿之间的空间称为齿槽。齿轮各部分的名称及符号规定如下：

（1） 齿顶圆 过齿轮各齿顶所作的圆，其直径和半径分别用d_a和r_a表示。

（2） 齿根圆 过齿轮各齿槽底部的圆，其直径和半径分别用d_f和r_f表示。

（3） 分度圆 齿顶圆和齿根圆之间的圆，是计算齿轮几何尺寸的基准圆其直径和半径分别用d和r表示。

（4）基圆形成渐开线的圆，其直径和半径分别用d_b和r_b表示。

（5） 齿顶高、齿根高及齿全高 齿顶高为分度圆与齿顶圆之间的径向距离，用h_a表示；齿根高为分度圆与齿根圆之间的径向距离，用h_f表示；齿全高为齿顶圆与齿根圆之间的径向距离，用h表示，显然h=h_a+h_f。

（6） 齿厚、齿槽宽及齿距 在半径为r_k的圆周上，一个轮齿两侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿厚，用s_k表示；在此圆周上，一个齿槽两侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿槽宽，用e_k表示；此圆周上相邻两齿同侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿距，用p_k表示，显然p_k=s_k+e_k。分度圆上的齿厚、齿槽宽及齿距依次用s、e及p表示，p=s+e。基圆上的齿距又称为基节，用p_b表示。

标准齿轮：基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚等于齿槽宽的直齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非标准齿轮。
标准齿轮及其几何尺寸计算公式
　　由齿轮各部分名称的定义可以得到标准齿轮的几何尺寸计算公式，如（外齿轮）：
　分度圆直径　　　d=mz

基本参数
（1）齿数z 　在齿轮整个圆周上轮齿的总数。
（2）模数m 　分度圆的周长=πd=zp，则有：

由于π是无理数，给齿轮的设计、制造及检测带来不便。为此，人为地将比值p/π取为一些简单的有理数，并称该比值为模数，用m表示，单位是mm。我国已制定了模数的国家标准，因此，分度圆直径d = mz，分度圆齿距p = πm。
　　模数m是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数愈大，其尺寸也愈大如上图所示。

3）分度圆压力角α
　　齿轮轮齿齿廓在齿轮各圆上具有不同的压力角，我国规定分度圆压力角α的标准值一般为20°。此外，在某些场合也采用α=14.5°、15°、22.5°及25°等的齿轮。
　　至此，我们可以给分度圆下一个完整的定义：分度圆就是齿轮上具有标准摸数和标准压力角的圆。

（4）顶高系数h^*a和顶隙系数c^*
　　齿轮齿顶高和齿根高的计算式分别是：
　　　　　　　　　　

其中h^*a和c^*分别称为齿顶高系数和顶隙系数。
GB1356-88规定了h^*a和c^*的标准值：
1）正常齿制当m≥1mm时，h^*a=1，c^*=0.25；当m＜1mm时，h^*a=1，c^*=0.35
2）短齿制 h^*a=0.8，c^*=0.3

标准齿轮: 基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚等于齿槽宽的直齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非标准齿轮。标准齿轮的几何尺寸公式见下表。

内齿轮
　　图为一直齿内齿轮的一部分，它与外齿轮的不同点是：
（1）内齿轮的齿廓是内凹的，其齿厚和齿槽宽分别对应于外齿轮的齿槽宽和齿厚。
（2）内齿轮的齿顶圆小于分度圆，齿根圆大于分度圆。
（3）为了使内齿轮与外齿轮组成的内啮合齿轮传动能正确啮合，内齿轮的齿顶圆必须大于基圆。

齿条
　　图为一标准齿条。当标准外齿轮的齿数增加到无穷多时，齿轮的基圆及其他圆都变成互相平行的直线，同侧渐开线齿廓也变成互相平行的斜直线齿廓，这样就形成标准齿条。

齿条的主要特点：
（1）由于齿条齿廓为直线，所以齿廓上各点具有相同的压力角，且等于齿廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为20°。（2）与齿顶线平行的任一条直线上具有相同的齿距和模数。
（3）与齿顶线平行且齿厚等于齿槽宽的直线称为分度线（中线），它是计算齿条尺寸的基准线。

齿轮加工方法很多,以切削加工方法最为常用。范成法是利用一对齿轮啮合原理切削加工齿廓的。如图所示，假设将标准齿条作为刀具，另一齿轮为被切齿轮毛坯。当刀具以v=rω作等速移动，齿轮毛坯以ω作等速转动时，刀具齿廓就能切出被加工齿轮的齿廓。

它与标准齿条基本相同，只是齿顶增加了c^*m的高度，目的是为了切出被切齿轮的径向间隙。因齿条刀的分度线等分其齿高，故又称为中线。刀顶线与直线齿廓之间的过渡处不是直线，而是以半径为ρ的圆角刀刃。它不能切出渐开线齿廓，只能切出齿根部分的过渡曲线。刀顶线是用来切制被切齿轮齿根圆的。

如图所示，齿条刀中线与齿轮坯分度圆相切并作纯滚动。因为刀具中线上的齿厚等于齿槽宽，所以被切齿轮齿槽宽等于齿厚，即e=s。此外，由于分度圆与中线相切，则齿根高等于齿条刀顶线至分度圆的距离(h_a^*+c^*)m。因为齿轮坯的齿顶圆是预先已按标准齿轮的齿顶圆直径加工好了的，故其齿顶高等于h_a^*m，这样切出的齿轮是标准齿轮。

变位齿轮: 当齿条刀中线不与齿轮坯分度圆相切，而是相距（相割或相离）xm时，如图（a）、（c）所示的位置。刀具的移动速度v=rω时，此时平行于刀具中线的一条直线（节线）与轮坯的分度圆相切并作纯滚动，这种改变刀具位置，使中线距离轮坯分度圆为xm时，加工出的齿轮称为变位齿轮，x称为变位系数。距离xm为齿条中线由切制标准齿轮的位置沿轮坯径向离开或靠近齿轮坯中心所移动的距离，称为径向变位量（简称变位量），△=xm

正变位 齿条刀中线远离齿轮中心，变位系数取正值(x>0)，称为正变位，所切出的齿轮称为正变位齿轮，
负变位 齿条刀中线靠近齿轮中心，变位系数取负值(x<0)，称为负变位，所切出的齿轮称为负变位齿轮。

用同一把齿条刀切出齿数相同的标准齿轮、正变位齿轮及负变位齿轮。它们的模数、压力角、分度圆、齿距及基圆等均相同。
　　由于x的不同，虽然它们的齿廓渐开线均由相同的基圆展出，但所取的部位不同，如图所示。
　　它们的齿顶高、齿根高、齿厚及齿槽宽各不相同。
　　以下讨论变位齿轮几何尺寸的变位。

图所示分度圆齿厚和齿槽宽及标准齿条刀切制正变位齿轮的情况。齿条刀中线远离轮坯中心的径向变位量是xm>0，刀具节线上的齿厚较刀距中线上的齿厚减小2KJ。由于轮坯分度圆与刀具节线作纯滚动，被切出齿轮分度圆齿槽宽应等于刀具节线上的齿厚，即被切齿轮分度圆齿槽宽也减小2KJ。由图中关系可知，KJ=xmtgα。故正变位齿轮分度圆齿槽宽为：

对于负变位齿轮，上述两式同样适用，仅将变位系数x用负值代入。

图为外齿轮的一个轮齿，设s_i为轮齿任意半径r_i的圆周上的弧齿厚，s为其分度圆上的弧齿厚，并设s_i和s分别对应的中心角为φ_i和φ，由图知

若以不同圆的半径r和该圆上的渐开线压力角α代入上式，即可求得相应的弧齿厚。

如图所示，加工正变位齿轮，刀具中线与节线分离，移出xm。因此齿根高比标准齿轮减小，即

4．齿顶高和齿顶圆
　　变位齿轮的齿顶圆在切齿加工前已加工好，与轮齿切削加工无关。变位齿轮的齿顶高及齿顶圆均与标准齿轮不同，其变化的情况与一对齿轮啮合传动要求有关，将在下节介绍。

一对渐开线齿廓能保证定传动比传动，但这并不表明任意两个渐开线齿轮都能搭配起来正确啮合传动。为了正确啮合，还必须满足一定的条件。图示一对渐开线齿轮同时有两对齿参加啮合，两轮齿工作侧齿廓的啮合点分别为K和K'。为了保证定传动比，两啮合点K和K'必须同时落在啮合线N₁N₂上；否则，将出现卡死或冲击的现象。这一条件可以表述为

。

和

分别为齿轮1和齿轮2相邻同侧齿廓沿公法线上的距离，称为法向齿距，用p_n1、p_n2表示。因此，一对齿轮实现定传动比传的正确啮合件为两轮的法向齿距相等。又由渐开线性质可知，齿轮法向齿距与基圆齿距相等，则该条件又可表述为两轮的基圆齿距相等，即

式中m₁、m₂和α₁、α₂分别为两轮的模数和压力角。由于齿轮的模数和压力角都已标准化，要使上式成立，可以取

来保证两轮的法向齿距相等。因此，渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件最终表述为：两轮的模数和压力角分别相等。

齿轮传动是通过其轮齿交替啮合而实现的。图所示为一对轮齿的啮合过程。主动轮1顺时针方向转动，推动从动轮2作逆时针方向转动。一对轮齿的开始啮合点是从动轮齿顶圆η₂与啮合线N₁N₂的交点B₂，这时主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触，两轮齿进入啮合。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点将沿着啮合线向左下方移动。一直到主动轮的齿顶圆η₁与啮合线的交点B₁，主动轮的齿顶与从动轮的齿根即将脱离接触，两轮齿结束啮合，B₁点为终止啮合点。线段

为啮合点的实际轨迹，称为实际啮合线段。当两轮齿顶圆加大时，点B₁、B₂分别趋于点N₁、N₂，实际啮合线段将加长。但因基圆内无渐开线，故点B₁、B₂不会超过点N₁、N₂，点N₁、N₂称为极限啮合点。线段

是理论上最长的实际啮合线段，称为理论啮合线段。

连续传动条件　　为保证齿轮定传动比传动的连续性，仅具备两轮的基圆齿距相等的条件是不够的，还必须满足

≥P_b。否则，当前一对齿在点B₁分离时，后一对齿尚末进入点B₂啮合，这样，在前后两对齿交替啮合时将引起冲击，无法保证传动的平稳性。
重合度　　把实际啮合线段

与基圆齿距P_b的比值称为重合度，用ε_α表示。

在实际应用中，ε_α值应大于或等于一定的许用值[ε_α]，即

上式中许用重合度[ε_α]的值是随齿轮机构的使用要求和制造精度而定，推荐的[ε_α]值，见表7.4。

外啮合齿轮的重合度计算公式可参照右图推出：实际啮合线段

，而

重合度的大小表明同时参与啮合的轮齿对数的多少。如ε_α=1表示，齿轮传动的过程中始终只有一对齿啮合。若ε_α=1.3 的情况如图所示，在实际啮合线

的B₂A₁和A₂B₁（长度各为0.3P_b）段有两对轮齿同时在啮合，称为双齿啮合区；而在节点P附近A₁A₂段（长度为0.7P_b），只有一对轮齿在啮合，称为单齿啮合区。

总之，ε_α值愈大，表明同时参加啮合轮齿的对数愈多，这对提高齿轮传动的承载能力和传动的平稳性都有十分重要的意义。

齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩檫发热膨胀而卡死，齿廓之间必须留有间隙，此间隙称为齿侧间隙，简称侧隙。但是，齿侧间隙的存在会产生齿间冲击，影响齿轮传动的平稳性。因此，这个间隙只能很小，通常由齿轮公差来保证。对于齿轮运动设计仍按无齿侧间隙（侧隙为零）进行设计。

一对齿轮啮合过程中，两节圆作纯滚动。因此，两齿轮的节圆齿距应相等，即p₁^`=p₂^` 。为保证无齿侧间隙啮合，一齿轮的节圆齿厚必须等于另一齿轮节圆齿槽宽，即s₁^`=e₂^` 或s₂^`=e₁^`。这样有p₁^`=s₁^`+e₁^`+p₁^`=s₂^`+e₂^`，故p=s₁^`+s₂^`
　　即齿轮啮合传动的无侧隙啮合条件是：节圆齿距等于两轮节圆齿厚之和。

根切现象 如图所示，用范成法切制齿轮的过程中，有时刀具会把齿轮根部已加工好的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。根切将削弱齿根的强度，甚至可能降低重合度，影响传动质量，应尽量避免。

产生原因　图为齿条刀的齿顶线超过极限啮合点N1（啮合线与被切齿轮基圆的切点）的情况。当刀具以速度ν移动到达位置Ⅱ时，刀刃齿廓将被加工轮齿的渐开线齿廓完全切出。范成加工继续进行，刀具移动距离s到达位置Ⅲ，刀刃齿廓与啮合线NN交于点K。与此同时，齿轮相应转过φ角，其基圆转过的弧长